Die trigonometrischen Funktionen Kein anderes Gebiet der Mathematik hat so viele Anwendungen in Wissenschaft und Technik wie die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Einige davon sind die folgenden: Vermessungen. Das Vermessen von Gebäuden und Feldern ist wohl das älteste Anwendungsgebiet der Trigonometrie. Im antiken Ägypten etwa mussten die Grenzen der Felder nach jedem Nilhochwasser wieder neu ausgemessen werden. Auch der genaue quadratische Grundriss der Pyramiden erforderte sehr genaue Messmethoden für Längen und Winkel (die Seitenlängen der Cheopspyramide weichen bei einer Länge von 227.5 m um nur 10 cm voneinander ab!), und um die Spitze auf ihrer Höhe von 146.6 m genau in der Mitte zu platzieren, musste der Seitenwinkel von 52° an allen vier Kanten genau eingehalten werden. Bereits im antiken Griechenland wurde der Erdumfang erstmals aufgrund der verschie-denen Sonnenstände an Orten unterschiedlicher geographischer Breite ermittelt. Dies ermöglichte den Seefahrern bereits in der Antike, auf offenem Meer ihre geographische Breite anhand des Sonnenstands und des Kalenders zu bestimmen. Zur Ermittlung der geographischen Länge waren genaue Uhren nötig, die erst den Seefahrern des 18. Jahr-hunderts zur Verfügung standen. Die Vermessung ganzer Länder und Kontinente, also die Kartographie, beruhte vor der Verfügbarkeit von Flug- und Satellitenaufnahmen ganz auf der Methode der Triangulation und ist auch heute noch teilweise darauf angewiesen. Bei dieser Methode tastet man sich von zwei Punkten mit bekannter Lage zu einem dritten vor, indem man ihn von beiden bekannten Punkten her anpeilt und die Winkel misst. Das heutige Verfahren zur Bestimmung der geographischen Lage eines Punktes ist das Global Positioning System (GPS). Dabei wird die Position eines Punktes auf der Erde mit Hilfe von Satelliten bestimmt, die so über der Erde verteilt sind, dass man zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort der Erde zumindest vier von ihnen anpeilen kann. Aus den bekannten Positionen dieser Satelliten und ihren Abständen (die aus der Laufzeit der Funksignale bestimmt wird), lassen sich die Koordinaten jedes Ortes der Erde (und auch die Höhe über dem Meer) auf weniger als 1 m genau bestimmen. Die Berechnungen sind allerdings komplizierter als bei der herkömmlichen Triangulation, da sie nicht auf Dreiecken, sondern auf räumlichen Gebilden mit 4 Ecken (so genannten Tetraedern) beruhen. Schwingungen und Wellen. Verfolgt man den Ort s einer Masse, die an einer Feder schwingt, als Funktion der Zeit t, so ist der Zusammenhang durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion gegeben. So genannte Sinusschwingungen sind bei jeder Art von Schwingung oder Welle die elementarste Bewegungsform, und daher sind Sinus- und Cosinusfunktionen bei der Beschreibung aller Arten von Schwingungen und Wellen grundlegend, seien es nun Musikinstrumente, Schallwellen, Schwingungen von Atomen und Molekülen, Lichtwellen, Radiowellen, Mikrowellen (oder sonstige elektromagne-tische Wellen), Wasserwellen, Seilwellen oder was auch immer. Jeder Klang kann erzeugt werden, indem man reine Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz (wie sie z.B. von Stimmgabeln erzeugt werden), überlagert. Auf diese Weise erzeugt man in Synthesizern beliebige Klänge. Umgekehrt werden Klänge (z.B. Musikaufnahmen) elektronisch in reine Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz zerlegt, womit sich z.B. Rauschen eliminieren lässt, aber auch gewollte Verzerrungen eingebaut werden können. Auch die Komprimierung von Audiodaten (MP3 etc.) basiert auf der Zerlegung des Klanges in Sinusschwingungen. Kreisbewegungen. Bewegungen auf Kreis- und Ellipsenbahnen, z.B. die Planeten-bewegungen, werden mit trigonometrischen Funktionen beschrieben. Solche Daten sind die Grundlage für die Berechnungen von Mondphasen, Sonnenauf- und Untergangszeiten, Flut- und Ebbezeiten usw. Wechselstrom und Transformatoren. Im Gegensatz zu einer Batterie, bei der Plus- und Minuspol fest gegeben sind (und wo demnach der Strom stets vom Plus- zum Minuspol fliesst), wechselt der Strom aus der Steckdose 100 mal pro Sekunde seine Flussrichtung. Die Spannungsangabe 230 V ist also nur ein Mittelwert, in Wirklichkeit hat die Spannung einen zeitlichen Verlauf, der durch eine Sinusfunktion beschrieben wird. Beide Pole sind 50-mal pro Sekunde der Pluspol und 50-mal der Minuspol (Man sagt daher auch, die Frequenz des Wechselstroms sei 50 Hertz). Der Grund, warum aus der Steckdose Wechselstrom und nicht Gleichstrom kommt, liegt darin, dass Wechselstrom sich leicht transformieren lässt, d.h., man kann seine Spannung leicht ändern. Das ist wichtig, weil man Strom über Leitungen nur dann transportieren kann, wenn in diesen Leitungen die Spannung sehr hoch ist. Hochspannungsleitungen haben daher Spannungen bis 380 000 Volt. Andererseits wäre die Hochspannung einer Leitung in einer Steckdose äusserst gefährlich (man müsste sich einer Steckdose mit 380 000 Volt nur auf einige Zentimeter nähern, um einen elektrischen Schlag zu bekommen).